看點 今年上海的中考數(shù)學(xué)，引起了大眾不少關(guān)注。那么這份試卷出現(xiàn)了哪些新變化和新亮點？對于我們今后小初階段的數(shù)學(xué)學(xué)習，又會有怎樣的影響呢？外灘君就此采訪了上海園丁獎獲得者、資深數(shù)學(xué)老師王杰，聽一聽他對數(shù)學(xué)學(xué)習的規(guī)劃和思考。

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文丨莊曉 編丨Lulu

(資料圖)

上海中考成績已在日前放榜。隨著上海民辦高中最低投檔控制分數(shù)線出爐，今年上海中考也在幾家歡喜、幾家愁中正式落幕。

雖然錄取結(jié)果已經(jīng)塵埃落定，但對于小、初階段的孩子來說，中考的影響力無疑還在持續(xù)。特別是 結(jié)合了去年新課標出臺的大背景，今年中考試題出現(xiàn)的諸多新亮點、新變化，都值得我們認真分析和對待。

那么從今年中考中，我們可以看到數(shù)學(xué)學(xué)習的哪些新趨勢？對我們小學(xué)和初中數(shù)學(xué)學(xué)習，又有哪些新啟發(fā)呢？我們又該如何幫助孩子建立數(shù)學(xué)學(xué)習的自信，真正學(xué)好數(shù)學(xué)呢？

為此，外灘君特意請來了 上海市靜安區(qū)協(xié)和雙語培明學(xué)校中學(xué)高級教師王杰老師。已擔任十五年班主任的他，還是數(shù)學(xué)教師，區(qū)學(xué)科帶頭人，區(qū)人大代表，民進上海市委基礎(chǔ)教育委員會委員。

王杰老師

上海市園丁獎獲得者

上海市優(yōu)秀班主任

所帶每屆班級都被評為上海市優(yōu)秀班集體

在教育最前沿摸爬滾打多年的他，不僅在數(shù)學(xué)教學(xué)上有著深厚的經(jīng)驗，同時還有著獨特的數(shù)學(xué)教育方法。

在王杰看來，有些孩子學(xué)數(shù)學(xué)“小考不錯，大考卻翻車”、“上課能聽懂，做題卻全錯”、“題型一變，又束手無策”，往往是因為 平時學(xué)習只關(guān)注結(jié)果，卻忽視了數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

而今年中考數(shù)學(xué)，又恰恰對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力及應(yīng)用，提出了更高的要求。當然，這也為今后孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習，指明了努力的新方向。

今年中考數(shù)學(xué)

提出了哪些新挑戰(zhàn)？

曾有網(wǎng)友調(diào)侃稱：“把人逼急了什么都做得出來，除了數(shù)學(xué)題。”或許，這樣的調(diào)侃可以直接用在今年上海中考的第22題上。

上海中考2023年數(shù)學(xué)卷，王杰老師提供

在這道緊密聯(lián)系當下的題目中，不少考生因為理解障礙，直接就影響到了考試的心態(tài)。這讓王杰覺得不免有些可惜。

“其實類似的題型我們在平時的練習中也反復(fù)提及。但大家對這道題目的爭議，也從側(cè)面提醒我們， 今后會有更多貼近生活的題型出現(xiàn)，這也是新課標所強調(diào)的變化之一?！?

除了這道有關(guān)加油的應(yīng)用題外，在今年中考數(shù)學(xué)的試卷中，還出現(xiàn)了垃圾分類及不同時段車流量調(diào)查等，與生活實際相關(guān)的實踐題型。

上海中考2023年數(shù)學(xué)卷，王杰老師提供

王杰也樂于見到這些題目的出現(xiàn)：“ 要讓孩子們知道數(shù)學(xué)可以來源于生活，也能運用于生活，改變數(shù)學(xué)無用的認知，真正來培養(yǎng)孩子對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣。”

而這些要求學(xué)生們從解決實際問題出發(fā)，強調(diào)數(shù)學(xué)靈活運用的綜合題，不僅將是孩子們數(shù)學(xué)學(xué)習的重點，也可能是拉開頂尖考生差距的重要題型。

這里，外灘君不妨先來簡單介紹下上海中考數(shù)學(xué)的基本情況。

上海中考數(shù)學(xué)考試時間100分鐘，一共有25道題，總分是150分。

今年試卷中，1-6題是單選，7-18是填空題，19、20是計算與解不等式組，21、22則是函數(shù)幾何計算，23是一道幾何證明題，24是一道和函數(shù)有關(guān)的綜合題，第25題是一道幾何綜合題。

試卷難易程度嚴格按照8：1：1的比例，即有120分的基本題，有15分的提高題，還有最后15分，這也是影響考生是否能進入頂尖高中學(xué)習的關(guān)鍵分數(shù)。

前文所提到的數(shù)學(xué)探究運用題型，未來就很有可能是屬于拉開學(xué)生成績差距的題型之一。

當然，這些拉開分數(shù)差距的題型中，也包括了中考數(shù)學(xué)中最后兩大題中最后一小題的分值。今年中考數(shù)學(xué)的最后一題，也出現(xiàn)了與往年 不同的改變。

上海中考2023年數(shù)學(xué)卷，王杰老師提供

“以往最后一題的三個小問題中，大多數(shù)是依次遞進的關(guān)系，多少會在解題思路上有所指引。但今年這三個小問題，就涉及到了不同的知識點，彼此相對獨立， 這就對孩子知識面的廣度和深度，有了更全面綜合的考察。”

像這樣的考查，還有不少。比如今年試卷中最后兩大題中的最后一小題，若學(xué)生有一定的作圖能力，在依據(jù)條件重新作圖后，也很容易找到解題思路。

“這要求學(xué)生有空間想象的能力，需要有一定的抽象思維。如果是靠背誦幾何定理來學(xué)幾何，那這種方式絕對學(xué)不好數(shù)學(xué)，因為只要題目發(fā)生一丁點變化就懵了?！?/p>

某種意義上說，王杰認為，這些新變化也在倒逼孩子們， 改變過去只強調(diào)數(shù)學(xué)知識、忽視數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀，不斷提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，在生活中真正來玩好數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)自信

因材施教幫孩子愛上數(shù)學(xué)

可以預(yù)見，未來的中考數(shù)學(xué)，不僅會更強調(diào)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動，也將越來越全面考察孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習能力。 單純依靠“刷題”和“押題”考取高分，基本上是不太可能了。

那么在更高要求下，我們?nèi)绾尾拍軒椭⒆樱〉脭?shù)學(xué)考試的高分呢？

王杰覺得， 首先還是要培養(yǎng)孩子學(xué)習的興趣。

雖然數(shù)學(xué)被譽為“思維的體操”，但也不是所有孩子都能愛上數(shù)學(xué)。

為此，王杰并不強求。他認為，在如今這個多元的社會，學(xué)習仍然重要，但分數(shù)不再是唯一追求的目標。孩子們也可以多多感受學(xué)習以外的生活，發(fā)展自己的興趣愛好。而說不準哪一天，孩子們所點亮的愛好，也能為數(shù)學(xué)學(xué)習打開一扇希望的窗口。

就比如曾在王杰班上學(xué)習的小雨同學(xué)。和其他同學(xué)相比，剛?cè)雽W(xué)時的小雨，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不牢，和其他同學(xué)相比，數(shù)學(xué)成績也差了一大截。

而小學(xué)升入初中，數(shù)學(xué)學(xué)習的難度又上了一個臺階。本就在數(shù)學(xué)上有些落后的小雨，自然對數(shù)學(xué)提不起興趣。

日常的觀察中，王杰發(fā)現(xiàn)小雨能言善道，還很愛旅游，于是他特意給了小雨一個暢所欲言的平臺，分享自己的旅行途中的路線規(guī)劃和所思所想。慢慢地，在同學(xué)們欣賞的目光中，小雨找到了學(xué)習的動力，這也帶動了小雨數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣，成績也得到了明顯的提升。

“ 與其一味地去提升孩子薄弱的部分，不如讓他先在自己擅長的方面發(fā)揮能力，有了信心后，他就能更加主動去學(xué)數(shù)學(xué)，包括聯(lián)系實際來應(yīng)用數(shù)學(xué)，這樣自然也能得到理想的結(jié)果。”

其次是建立孩子數(shù)學(xué)自信，打下扎實的計算功底。

計算是數(shù)學(xué)的基本功之一。計算能力的強弱和試卷做題的速度緊密相連。

王杰告訴外灘君，在一張中考試卷中，他對學(xué)生的要求是， 要在前15分鐘內(nèi)，基本解決選擇題和填空題，給剩下的大題、難題，留出充足的解題時間。

這就要求學(xué)生不僅計算速度要快，同時也要有足夠的數(shù)學(xué)自信。

像這次中考數(shù)學(xué)試卷，就有道題，不僅計算量很大，而且它的正確答案還不似以往那么簡單，而是更復(fù)雜。

“考場上，有些考生可能會受到固有思維的影響，覺得計算答案怎么看都不像是一個正確結(jié)果，沒有信心投入驗算的話，就會在這道題上花大量時間，從而影響到了整張卷子的答題節(jié)奏?！?/p>

因此，我們在日常中還是要 培養(yǎng)孩子算一題就對一題的自信，關(guān)鍵時刻，這種數(shù)學(xué)自信就能幫助他們，成功躲避出題老師所設(shè)下的“心理陷阱”，順利發(fā)揮出自己的全部實力。

當然，這樣的信心建立，離不開日常的練習和總結(jié)。為此，王杰開創(chuàng)地編纂了一套 《數(shù)學(xué)雙語分層練習冊》，這套練習冊已由上海教育出版社出版。

他將每周的練習，分為難度基礎(chǔ)的A卷和難度提升的B卷。A、B卷的題目數(shù)量一樣，每道題考查的知識點也基本一樣，區(qū)別在于A卷往往簡單地考查數(shù)學(xué)知識點，而B卷的題目則會稍作變化，需要學(xué)生對知識點有更深刻的理解。

每周的數(shù)學(xué)練習，學(xué)生實行動態(tài)調(diào)整，學(xué)得扎實的同學(xué)做B卷，能力較薄弱的孩子就做A卷。若是做A卷能做到80分以上，下周就可以挑戰(zhàn)B卷；同理，要是覺得B卷太難，也可以在下周再做回A卷，繼續(xù)鞏固知識，打好數(shù)學(xué)基本功。

這樣，一來孩子們不會因為一直考同一張練習，能力差的同學(xué)就總考得不好看，而影響學(xué)習信心；二來，也鼓勵基礎(chǔ)好的孩子“跳一跳”，獲取更優(yōu)異的學(xué)業(yè)。

“我們一定要給孩子們嘗試不同的機會，或許換了一種練習方式，孩子的學(xué)習信心就上來了，那就很容易走入一個正向的循環(huán)?！?/p>

拒絕無效刷題

孩子的青春無價，不應(yīng)在題海中沉浮

今年全國中考，不少形如漏斗狀的成績分布統(tǒng)計圖，也在網(wǎng)上引起了熱議。

圖由公眾號@京城燕大俠統(tǒng)計繪制

有網(wǎng)友覺得這意味著大家競爭更加白熱化；也有網(wǎng)友認為，這是中考題目正在回歸基礎(chǔ)，出題更加簡單靈活。不過，在王杰看來，上海中考數(shù)學(xué)試卷，正是落實了“數(shù)學(xué)新課標”的一種呈現(xiàn)。

一方面，考試中涌出大量成績中等偏上的孩子，說明 現(xiàn)在的中考越來越強調(diào)夯實基礎(chǔ)，體現(xiàn)了中考作為初中學(xué)業(yè)水平考試的一個側(cè)面。

另一方面，中考降低基礎(chǔ)題目的難度，也從側(cè)面提醒學(xué)生和家長們， 盲目的題海戰(zhàn)術(shù)，會大大降低學(xué)習的“投入產(chǎn)出比”，雖然保證了學(xué)習時間，但也不一定能保證學(xué)習的效果。

王杰老師和同學(xué)們

那么，真正需要孩子“花時間”的地方在哪呢？如何才能在“中考”中，既能緊抓基礎(chǔ)，又能在綜合題型中獲得突破呢？ 王杰認為，重點還在于孩子數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

1.首先還是對數(shù)學(xué)知識的理解和運用

在王杰看來，學(xué)習數(shù)學(xué)不是為了解題，而是要將數(shù)學(xué)運用到實際生活的過程當中， 不斷追問自己對于數(shù)學(xué)概念的理解有多深，對知識點的聯(lián)系理解有多活。

“中考從不超綱，學(xué)生之所以會感覺有難題，是因為它把多種知識點融合在一個問題之中。如果拆分出來的話，孩子們就會發(fā)現(xiàn)里面每一個小的數(shù)學(xué)模型，都是自己學(xué)過、練過的，而 我們唯一需要的，是他們要有能力把這些思路和數(shù)學(xué)模型，一一厘清，打通這些數(shù)學(xué)模型的邏輯通路，說白了，就是要學(xué)生能融會貫通。”

事實上，這也正是2022版數(shù)學(xué)新課標，對學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的要求：“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界?！?/p>

其中，“ 數(shù)學(xué)的眼光”，需要在數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系中培養(yǎng)孩子 抽象的數(shù)學(xué)能力和空間想象能力；

“ 數(shù)學(xué)的思維”要孩子學(xué)習 演繹推理和歸納推理的邏輯思維方式，加強運 算能力的培養(yǎng)；

“數(shù)學(xué)的語言”則要他們擁有 數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模意識，并應(yīng)用于具體的生活之中。

因此，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習中， 王杰更加看重數(shù)學(xué)過程的學(xué)習。

“比如一個公式，它是如何一步步推導(dǎo)證明的？ 這些基本的原理和概念，就是現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習的基本功。這就要求學(xué)生，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習中，不僅要知其然，也要知其所以然，才能做到靈活運用?！?

王杰老師也非常鼓勵學(xué)生自行嘗試推導(dǎo)公式定理，在思考的過程中，孩子們不僅興致盎然，也提高了動手畫圖的能力，加深了對基礎(chǔ)原理的理解，在一些小練習上，也取得了不錯的成績。

2.重視課堂的學(xué)習效益，以學(xué)校學(xué)習為主，要有事半功倍的意識

數(shù)學(xué)學(xué)習，從來都不在乎做了幾道題，而在于怎么做，不斷促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考，深化發(fā)展數(shù)學(xué)思維。王杰認為， 歸根結(jié)底還在于要培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象、探索、猜測再去論證的能力。

“就是要 把每一題做精、做得透徹。”王杰老師介紹，數(shù)學(xué)學(xué)習中，孩子要學(xué)會 一題多解、一題多變和多解歸一等多種方法。

一題多解，可以開闊學(xué)生解題思路、發(fā)散學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會從多角度分析問題和解決問題。

一題多變是為了培養(yǎng)孩子思維的應(yīng)變性，把習題通過條件變換、因果變換來產(chǎn)生更多新問題，使得更多知識得以運用。

而 多解歸一，則是培養(yǎng)孩子的聚合思維，主要是讓孩子尋求共性，自己來建立一個數(shù)學(xué)模型，加深對數(shù)學(xué)原理、通性通法的認識，進而提高解題技巧與能力。

在王杰看來， 千萬不要對校外輔導(dǎo)報以希望，有時超前學(xué)和廣刷題，反而會給孩子增加了負擔。

“我自己就是題海戰(zhàn)術(shù)學(xué)出來的，但這種刷題模式真的對孩子們有幫助嗎，并不見得。反而大量刷題把孩子學(xué)習激情磨滅了，一些刻板的數(shù)學(xué)思維也固化了。”

王杰也建議，如果是基礎(chǔ)薄弱、上課理解有困難的孩子，可以課外適當提前學(xué)一些，來提升他可能學(xué)習的信心，但不要過度地超前學(xué)習；基礎(chǔ)好的孩子還是盡量能夠配合課內(nèi)的要求，不是隨大流地追求難度，而是要 沉下心來，學(xué)著一題多解，或是舉一反三地思考論證。

3.及時鞏固、隨時復(fù)習，提高學(xué)習效率

王杰告訴外灘君，數(shù)學(xué)課上，他很少會帶著教科書上課。常年的備課讓他早就把數(shù)學(xué)知識點熟稔于心，可以根據(jù)孩子們學(xué)習的狀態(tài)，調(diào)整授課內(nèi)容。

與之相應(yīng)的，便是隨著上課節(jié)奏而來的隨堂小練習。

“我從來都是學(xué)到哪、練到哪。一看學(xué)生課堂掌握的程度；二來考驗我自己教得怎么樣。 在這些練習中，近期的知識點多考一些、遠期的少考一些，滾動更新，也避免了學(xué)生遺漏知識點?！?

王杰老師也建議， 若在學(xué)習中遇到難題話，一定要鼓勵孩子，有類似“啃硬骨頭”這樣鉆研難題的信心和勇氣。只有不盲目依賴老師和網(wǎng)絡(luò)搜索，先進行獨立深入的思考，學(xué)生才能在老師后續(xù)講題中，加深印象，提高學(xué)習效率。

同樣，我們也要教會孩子們掌握答題策略。這樣即便在考試中遇到難題，孩子們也可以暫時放棄，留到最后去思考解決，讓整場考試都能保持良好的心態(tài)，真正發(fā)揮出自己的實力和水平。

4.今日事今日畢，養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣

對錯題的梳理，王杰也有自己的看法。他從不強制要求每個學(xué)生都用錯題本，而是要求用黑色水筆書寫答卷，藍色筆記標注錯題訂正。這樣一來，錯題既醒目清晰，也照顧到基礎(chǔ)薄弱的孩子，提高錯題訂正的效率。

在日常學(xué)習中，王杰也多次強調(diào)數(shù)學(xué)答題書寫的規(guī)范性。他常會要求學(xué)生 在答題紙上，字跡端正，按照從上到下，從左到右的順序依次書寫。同時 審題要抓住關(guān)鍵語句，仔細審題；答題也要做到不跳步不漏步。

這些答題的細節(jié)看似普通簡單，但就是這些小細節(jié)，也包含著解題思維的培養(yǎng)，引導(dǎo)他們在應(yīng)對未知問題的時候，如何一步步打開思路，學(xué)著思考。

總 結(jié)

從數(shù)學(xué)的知識范圍來講， 中考數(shù)學(xué)都是校本知識所講授的內(nèi)容，只看孩子是否能想到用某種方法來解題。這么看來，數(shù)學(xué)學(xué)習也是自己和自己的“一種較勁”。

因此，王杰覺得，在小初數(shù)學(xué)學(xué)習中，家長和學(xué)生都要放平心態(tài)， 拒絕讓焦慮主導(dǎo)自己的情緒，不要只關(guān)注成績，而應(yīng)該多關(guān)注孩子內(nèi)心的想法，多和過去的自己做對比。

“我們的理念需要改變，在尊重孩子的基礎(chǔ)上，不一定是通過各種刷題的方式，而是以多種多樣的活動，來幫助孩子達到一個適合的目標?！?/p>

王杰就 非常鼓勵班上的孩子，組成各種形式的互幫互助小組。青春期孩子同伴間的交流，或許能比老師有板有眼地講解，更容易激發(fā)孩子學(xué)習的興趣。在他的組織和倡導(dǎo)下，孩子間的互相幫助，已經(jīng)成為一個自發(fā)性的行為。

有一次，王杰開完會回到學(xué)校，發(fā)現(xiàn)自己班上成績比較好的那個孩子，正在學(xué)校大廳，輔導(dǎo)另外兩個同學(xué)。

王杰問他們，怎么不在教室學(xué)習，要跑到學(xué)校大廳來？孩子們說，教室里同學(xué)們都在“學(xué)習結(jié)對”、互幫互助，有點兒吵，為此他們特意選擇了這個僻靜角落“躲清閑”。

聽著孩子們的解釋，王杰難掩激動，感慨孩子們的自覺。在他眼中，擁有家長和老師信任的孩子，必將擁有更廣闊的視野、更成熟的思維來解決學(xué)習上的難點和痛點，真正激發(fā)學(xué)習的興趣與熱情。

王杰也很喜歡愛爾蘭詩人葉芝所說的箴言:“教育不是注滿一桶水,而是點燃一把火?！彼嘈?， 當我們真正用發(fā)展的眼光去看待孩子的學(xué)習時，改變也將自然而然地發(fā)生。

感受過努力的力量和價值后，這些擁有學(xué)習自主權(quán)的孩子，自然也能獲得向上前進的信心和動力，更好來應(yīng)用、品味數(shù)學(xué)的美感。

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